Determinant

행렬식: 행렬의 식을 계산한 것으로, Laplace expansion을 통해 계산한다.

• Trace: for square maxtrix, $tr(A):={\sum }_{i=1}^n{a}_{ii}$
  • $tr(A+B)=tr(A)+tr(B)$
  • $tr(\alpha A)=\alpha tr(A)$
  • $tr(I_n)=n$

Properties

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• $\det (AB)=\det (A)\det (B)$
• $\det (a)=\det (A^{\top })$
• For a regular $A$, $\det (A^{-1})=1/\det (A)$
• For two similar matrices, $det(A)=\det (A^{{}^{\prime }})$
  • i.e., $A^{{}^{\prime }}=S^{-1}AS$
• triangular matrix(include diagonal matrix) $T$, $\det (T)={\prod }_{i=1}^n{T}_{ii}$
• 한 row/column을 다른 것에 더해도, $\det (A)$는 동일하다.
• $\det (\lambda A)={\lambda }^{n}A$
• 두 rows/columns를 교환하면, $\det (A)$의 부호가 변한다.
• $\det (A^{-1})=\det (A{)}^{-1}$